Le groupe modulaire \(\Gamma\)
Soit \( \Gamma \) l'ensemble des transformations \( t \longmapsto \frac{at + b}{ct + d} \) où \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) sont des entiers tels que \( ad-bc = 1 \).
Avant toute chose, assurons nous de l'unicité de la notation \( t \longmapsto \frac{at + b}{ct + d} \) , ceci pour être sûrs que lorsque nous avons deux transformations avec des coefficients différents, nous ne manipulons pas, en fait, la même transformation.
Soient \(T\) et \(T'\) deux éléments de \(\Gamma\): \[ \begin{aligned} T: \; & t \longmapsto \frac{a t + b }{c t + d } \qquad & a d -b c = 1 \\ T': \; & t \longmapsto \frac{a't + b'}{c't + d'} \qquad & a'd'-b'c' = 1 \end{aligned} \] Supposons que \(T=T'\) et voyons ce que cela donne: \[ \begin{aligned} T = T' \; & \Longleftrightarrow \frac{at+b}{ct+d} = \frac{a't+b'}{c't+d'} \\ & \Longleftrightarrow (at+b)(c't+d') = (a't+b')(ct+d) \\ & \Longleftrightarrow ac't^2 + (ad'+bc')t + bd' = a'ct^2 + (a'd+b'c)t + b'd \\ & \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{ll} ac' & = a'c \\ ad'+bc' & = da'+cb' \\ bd' & = db' \end{array} \right. \end{aligned} \] Comme on ne peut pas avoir \(a=c=0\) (en vertu de \( ad-bc=1 \)) ni \(a'=c'=0\) (car \( a'd'-b'c'=1 \)) , on a: \[ (ac' = a'c) \Longrightarrow \exists \alpha \neq 0 \text{ tel que } \left\{ \begin{array}{ll} a' & = \alpha \; a \\ c' & = \alpha \; c \end{array} \right. \] et comme on ne peut pas avoir non plus \(b=d=0\) ni \(b'=d'=0\) , on a aussi: \[ (bd' = b'd) \Longrightarrow \exists \beta \neq 0 \text{ tel que } \left\{ \begin{array}{ll} b' & = \beta \; b \\ d' & = \beta \; d \end{array} \right. \] De \( (ad'+bc') = (da'+cb') \) on tire donc: \( (\beta ad + \alpha bc) = (\alpha ad + \beta bc) \) qui peut aussi s'écrire: \( (\beta - \alpha) (ad-bc) = 0 \). Or, comme \(ad-bc=1\), on trouve: \(\alpha = \beta\). Donc, pour récapituler: \[ T = T' \Longleftrightarrow \exists \alpha \neq 0 \text{ tel que } \left\{ \begin{array}{ll} a' & = \alpha \; a \\ b' & = \alpha \; b \\ c' & = \alpha \; c \\ d' & = \alpha \; d \end{array} \right.\] d'où: \( 1 = a'd'-b'c' = \alpha^2 (ad-bc) = \alpha^2 \). Ainsi, \( \alpha = \pm 1 \) et nous n'avons donc PAS unicité de la notation \( t \longmapsto \frac{at+b}{ct+d} \).
En fait, ça ne sera pas un problème car il est tout à fait naturel que \( \frac{at+b}{ct+d} = \frac{-at-b}{-ct-d} \). Néanmoins, il faudra faire attention.
Montrons maintenant que \(\Gamma\) est un groupe pour la composition. Pour cela, nous allons suivre la procédure classique (et avoir une petite pensée pour nos professeurs):
- Si \(T \in \Gamma\) et \(T' \in \Gamma\) alors \((T' \circ T) \in \Gamma \).
- Si \(T_1\), \(T_2\) et \(T_3\) sont des éléments de \(\Gamma\), alors: \(T_1 \circ (T_2 \circ T_3) = (T_1 \circ T_2) \circ T_3 \).
- Il existe \( Id \in \Gamma \) telle que, pour tout \(T \in \Gamma\) : \( Id \circ T = T \circ Id = T\).
- Tout élément \(T \in \Gamma\) admet un inverse (noté \(T^{-1}\)) tel que: \(T^{-1} \circ T = T \circ T^{-1} = Id\).
Soient \(T\) et \(T'\) deux éléments de \(\Gamma\): \[ \begin{aligned} T: \; & t \longmapsto \frac{a t + b }{c t + d } \qquad & a d -b c = 1 \\ T': \; & t \longmapsto \frac{a't + b'}{c't + d'} \qquad & a'd'-b'c' = 1 \end{aligned} \] alors: \[ \begin{aligned} (T' \circ T)(t) \; & = \frac{a' \frac{a t + b }{c t + d } + b'}{c' \frac{a t + b }{c t + d } + d'} \\ & = \frac{ a'(a t + b) + b'(c t + d) }{ c'(a t + b) + d'(c t + d) } \\ & = \frac{ (a'a + b'c) t + (a'b + b'd) }{ (c'a + d'c) t + (c'b + d'd) } \end{aligned} \] Donc \( T' \circ T \) est bien de la forme \( t \longmapsto \frac{At + B}{Ct + D} \) avec \[ \begin{aligned} A & = a'a + b'c \\ B & = a'b + b'd \\ C & = c'a + d'c \\ D & = c'b + d'd \end{aligned} \] qui sont manifestement entiers. Calculons \( AD-BC \): \[ \begin{aligned} AD-BC & = (a'a + b'c) (c'b + d'd) - (a'b + b'd) (c'a + d'c) \\ & = a'ac'b + a'ad'd + b'cc'b + b'cd'd - a'bc'a - a'bd'c - b'dc'a - b'dd'c \\ & = a'ad'd + b'cc'b - a'bd'c - b'dc'a \\ & = a'd' (ad-bc) - b'c' (ad-bc) \\ & = a'd' - b'c' \\ & = 1 \end{aligned} \] Donc \( (T' \circ T) \in \Gamma \).
L'opération de composition, pour les applications, est toujours associative. Donc le résultat est immédiat.
En écrivant: \(Id = t \longmapsto t = \frac{1 t + 0}{0 t + 1} \) . Il est clair que \( Id \in \Gamma \) (car \(1 \times 1 - 0 \times 0 = 1\)) et que, pour tout \(T \in \Gamma\): \[ Id \circ T = T \circ Id = T \] Et \(\Gamma\) possède bien un élément neutre pour la composition.
Soit \(T \in \Gamma\) tel que: \[ T = t \longmapsto \frac{a t + b}{c t + d} \] Si on choisit: \[ T' = t \longmapsto \frac{d t - b}{-c t + a} \] qui est bien dans \( \Gamma \) car le produit \(d a - (-b)(-c) = ad-bc = 1\) est inchangé. On a alors: \[ \begin{aligned} T \circ T' \; & = t \longmapsto \frac{(ad+b(-c)) t + (a(-b)+ba)}{(cd+d(-c)) t + (c(-b)+da)} \\ & = t \longmapsto \frac{(ad-bc) t + (ab-ab)}{(cd-cd) t + (ad-bc)} \\ & = t \longmapsto \frac{1 t + 0}{0 t + 1} \\ & = Id \end{aligned} \] et \[ \begin{aligned} T' \circ T \; & = t \longmapsto \frac{(da-bc)t + (db-bd)}{(-ca+ac)t + (-cb+ad)} \\ & = t \longmapsto \frac{1 t + 0}{0 t + 1} \\ & = Id \end{aligned} \] Et \(T'\) est donc l'inverse de \(T\) pour la composition.
Nous venons de montrer que \( \Gamma \) muni de la composition est un groupe. Ce groupe, pour ceux qui ne l'ont pas déjà remarqué, fait penser au groupe des matrices \(2 \times 2\) à coefficients dans \(\mathbb{Z}\) et de déterminant \(1\) muni de la multiplication matricielle (noté SL(\(2\),\(\mathbb{Z}\))). En fait, c'est le quotient de SL(\(2\),\(\mathbb{Z}\)) par le groupe (Id,-Id). Pour ceux qui ne comprennent pas, ce n'est pas un soucis, c'est la justification du \( \pm \) de la représentation qui suit. C'est pourquoi les éléments de \(\Gamma\) seront parfois notés comme des matrices \(2 \times 2\): \[ \pm \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \quad \longleftrightarrow \quad \left( t \longmapsto \frac{at + b}{ct + d} \right) \]
Soient les deux transformations de \( \Gamma \) : \[ T_{\Gamma} = \pm \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \quad \longleftrightarrow \quad \left( t \longmapsto t+1 \right) \] et \[ S_{\Gamma} = \pm \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \quad \longleftrightarrow \quad \left( t \longmapsto - \frac{1}{t} \right) \] Les formules suivantes sont immédiates et nous seront utiles: \[ T_{\Gamma}^n = \left( t \longmapsto t+n \right) = \pm \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad \forall n \in \mathbb{Z} \] \[ S_{\Gamma}^2 = \left( t \longmapsto t \right) = \pm \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = Id \] et, pour \(T \in \Gamma\) tel que \( T = \pm \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \), on a: \[ T_{\Gamma}^n \circ T = \pm \begin{pmatrix} a+nc & b+nd \\ c & d \end{pmatrix} \qquad \forall n \in \mathbb{Z} \] \[ S_{\Gamma} \circ T = \pm \begin{pmatrix} -c & -d \\ a & b \end{pmatrix} \]
Nous avons le théorème:
Démonstration:
Soit la propriété \(P(n)\): toute transformation \( T = \pm \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) de \(\Gamma\), avec \(|c| \leq n\), est engendrée par \(S_{\Gamma}\) et \(T_{\Gamma}\).
Si \( c = 0 \) , alors \( ad-bc = ad = 1 \) d'où \(a = d = \pm 1\) et \( T \) est une puissance de \( T_{\Gamma} \). Donc \(P(0)\) est vraie.
De l'expression: \[ S_{\Gamma} \circ T_{\Gamma}^n \circ \pm \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \pm \begin{pmatrix} -c & -d \\ a+nc & b+nd \end{pmatrix} \] On voit que si \(c \neq 0\), il existe alors \(q\) quotient de la division euclidienne de \(a\) par \(c\) tel que \( a=qc+r \) avec \(0 \leq r < |c|\). on a alors: \(0 \leq a - qc = r < |c| \). Dans ces conditions, on a alors: \[ S_{\Gamma} \circ T_{\Gamma}^{-q} \circ \pm \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \pm \begin{pmatrix} -c & -d \\ a-qc & b-qd \end{pmatrix} \] avec \(|a - qc| < |c| \). Donc, si \(P(c-1)\) est vraie, alors \(P(c)\) est vraie.
Comme \(P(0)\) est vraie, en vertu du principe de récurrence, on a: \(P(n)\) est vraie pour tout \(n \in \mathbb{N}\). CQFD.
La fonction \(\lambda\) n'est pas modulaire car elle n'est pas invariante par \(T_{\Gamma}\) ni par \(S_{\Gamma}\). Néanmoins, elle est invariante par deux transformations qui sont dans \(\Gamma\), donc par toute transformation d'un sous-groupe de \(\Gamma\). Le chapitre qui suit est consacré à ce sous-groupe.