Connues de Gauss, c'est Carl Gustav Jacob Jacobi qui, lors de ses recherches sur les fonctions elliptiques, va systématiser l'usage des fonctions theta. En toute généralité, ce sont des fonctions de deux variables, mais nous traiterons, ici, que les cas où l'une de ces variables reste nulle. Ce qui nous permettra de les considérer comme des fonctions de la seule variable \( q \) , appelé le nôme.

Soient les trois fonctions suivantes, pour \( q \in [0;1[ \) : \[ \theta_2 (q) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} q^{(n + 1/2)^2} = 2 \sum_{n=0}^{\infty} q^{(n + 1/2)^2} \] \[ \theta_3 (q) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} q^{n^2} = 1 + 2 \sum_{n=1}^{\infty} q^{n^2} \] \[ \theta_4 (q) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} {(-1)}^n q^{n^2} = 1 + 2 \sum_{n=1}^{\infty} {(-1)}^n q^{n^2} \] Notons qu'il n'y a pas de fonction \( \theta_1 \) car dans le cas des versions à une variable, celle-ci est constante et nulle. De plus, on voit que les sommes sont convergentes pour \(q\) complexe de module strictement inférieur à \(1\) (attention tout de même au cas où \(q\) est réel négatif pour \(\theta_2\) ). Les égalités suivantes sont immédiates: \[ \theta_2(0) = 0 \qquad ; \qquad \theta_3(0) = \theta_4(0) = 1 \] De plus, comme pour tout entier relatif \(n\) , \(n^2\) et \(n\) ont même parité, alors: \( (-1)^{n^2} = (-1)^n \) , on a : \[ \theta_4(q) = \theta_3(-q) \]

Dans ce qui suit, nous allons établir plusieurs égalités impliquant les fonctions theta. Comme Gauss et Jacobi, nous allons voir que ces fonctions ont des propriétés très étonnantes. On a: \[ \begin{aligned} \theta_3(q) + \theta_4(q) \; & = \sum_{n \in \mathbb{Z}} q^{n^2} + \sum_{n \in \mathbb{Z}} {(-1)}^n q^{n^2} \\ & = \sum_{n \in \mathbb{Z}} (1+{(-1)}^n) q^{n^2} \end{aligned} \] or \( 1+{(-1)}^n \) est égal à \(2\) si \(n\) est pair et à \(0\) si \(n\) est impair. Donc: \[ \begin{aligned} \theta_3(q) + \theta_4(q) \; & = 2 \sum_{n \in \mathbb{Z}} q^{{(2n)}^2} \\ & = 2 \sum_{n \in \mathbb{Z}} {(q^4)}^{n^2} \\ & = 2 \theta_3(q^4) \end{aligned} \tag{1} \] D'après la définition de \(\theta_3\) , on peut l'écrire comme suit: \[ \theta_3(q) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} d(n) q^n \] où \[ d(n) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \mbox{ si } |n| \mbox{ est un carré } \\ 0 & \mbox{ sinon } \end{array} \right. \] ce qui donne alors, en notant dans tout ce qui suivra \( \theta_3^2(q) \) pour \( {(\theta_3(q))}^2 \) : \[ \theta_3^2(q) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} D(n) \; q^n \qquad \mbox{ où } \quad D(n) = \sum_{m=0}^n d(n-m) \; d(m) \tag{2} \] On voit que \( D(n) \) est égal au nombre de façons d'écrire \(n\) comme somme de deux carrés, en comptant toutes les combinaisons. Par exemple: \(D(5) = 8\) car \[ \begin{aligned} 5 \; & = (-2)^2 + (-1)^2 \\ & = (-1)^2 + (-2)^2 \\ & = 2^2 + (-1)^2 \\ & = (-1)^2 + 2^2 \\ & = (-2)^2 + 1^2 \\ & = 1^2 + (-2)^2 \\ & = 2^2 + 1^2 \\ & = 1^2 + 2^2 \end{aligned} \] avec le cas particulier \( D(0) = 1 \) .

En écrivant la même chose pour \( \theta_4 \) , on trouve: \[ \theta_4(q) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} (-1)^n \; d(n) \; q^n \] d'où: \[ \theta_4^2(q) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} D'(n) \; q^n \] avec \[ \begin{aligned} D'(n) \; & = \sum_{m=0}^n {(-1)}^{n-m} \; d(n-m) \; {(-1)}^m \; d(m) \\ & = \sum_{m=0}^n {(-1)}^n \; d(n-m) \; d(m) \\ & = {(-1)}^n \; D(n) \end{aligned} \] De ce qui précède, on obient: \[ \begin{aligned} \theta_3^2(q) + \theta_4^2(q) \; & = \sum_{n \in \mathbb{Z}} (1+{(-1)}^n) D(n) \; q^n \\ & = 2 \sum_{n \in \mathbb{Z}} D(2n) \; q^{2n} \end{aligned} \] Mais pour chaque \( a \in \mathbb{Z} \) et \( b \in \mathbb{Z} \) tels que \( n = a^2 + b^2 \) , on a: \[ \begin{aligned} 2n \; & = 2a^2 + 2b^2 = {(a + b)}^2 + {(a - b)}^2 \\ & = 2b^2 + 2a^2 = {(a + b)}^2 + {(b - a)}^2 \end{aligned} \] donc, pour tout \(n\) , \( D(n) = D(2n) \) , ce qui donne en vertu de \((2)\): \[ \begin{aligned} \theta_3^2(q) + \theta_4^2(q) \; & = 2 \sum_{n \in \mathbb{Z}} D(n) \; q^{2n} \\ & = 2 \theta_3^2(q^2) \end{aligned} \tag{3} \] En élevant \((1)\) au carré on a: \[ {\left( \theta_3^2(q) + \theta_4^2(q) \right)}^2 = 4 \theta_3^2(q^4) \] mais par l'identité remarquable, on a aussi: \[ {\left( \theta_3^2(q) + \theta_4^2(q) \right)}^2 = \theta_3^2(q) + \theta_4^2(q) + 2 \theta_3(q) \theta_4(q) \] ce qui donne, en tenant compte de \((3)\): \[ {\left( \theta_3^2(q) + \theta_4^2(q) \right)}^2 = 2 \theta_3^2(q^2) + 2 \theta_3(q) \theta_4(q) \] Ainsi, on a: \[ 4 \theta_3^2(q^4) = 2 \theta_3^2(q^2) + 2 \theta_3(q) \theta_4(q) \] qui peut s'écrire: \[ \theta_3(q) \theta_4(q) = 2 \theta_3^2(q^4) - \theta_3^2(q^2) \] Dans cette dernière égalité, en remplaçant \( 2 \theta_3^2(q^4) \) par \( \theta_3^2(q^2) + \theta_4^2(q^2) \) (ce qui vient de \((3)\) en y remplaçant \(q\) par \(q^2\) ) , on trouve: \[ \begin{aligned} \theta_3(q) \theta_4(q) \; & = \theta_3^2(q^2) + \theta_4^2(q^2) - \theta_3^2(q^2) \\ & = \theta_4^2(q^2) \end{aligned} \tag{4} \] Ainsi, on peut réécrire \((3)\) et \((4)\) :

Cela vous rappelle-t-il quelque-chose ?

Lorsque l'on effectue une itération de la moyenne arithmético-géométrique sur \( \theta_3^2(q) \) et \( \theta_4^2(q) \) , on trouve respectivement \( \theta_3^2(q^2) \) et \( \theta_4^2(q^2) \).

Ainsi, en reprenant les notations du chapitre sur l'AGM, si on pose \( a_0 = \theta_3^2(q) \) et \( b_0 = \theta_4^2(q) \) , pour \( q \in ]0;1[ \) , alors on a: \[ a_n = \theta_3^2(q^{2^n}) \qquad \mbox{ et } \qquad b_n = \theta_4^2(q^{2^n}) \] or, comme \( |q| < 1 \) , la limite de \( q^{2^n} \) lorsque \(n\) tend vers l'infini est \(0\). Et, comme \( \theta_3(0) = \theta_4(0) = 1 \) , on peut écrire:

Comme \[ \theta_3^2(q) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} D(n) \; q^n \] alors: \[ \theta_3^2(q^2) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} D(n) \; q^{2n} = \sum_{n \in \mathbb{Z}} D(2n) \; q^{2n} \] car \( D(n) = D(2n) \). On a donc: \[ \theta_3^2(q) - \theta_3^2(q^2) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} D(n) \; q^n - \sum_{n \in \mathbb{Z}} D(2n) \; q^{2n} \] ainsi, il ne reste que les termes impairs: \[ \theta_3^2(q) - \theta_3^2(q^2) = \sum_{\substack{n \in \mathbb{Z} \\ n \; \mathrm{impair}}} D(n) \; q^n \] Rappelant que \( D(n) \) est égal au nombre de manières d'écrire \( n \) comme somme de deux carrés, on peut donc écrire: \[ \theta_3^2(q) - \theta_3^2(q^2) = \sum_{\substack{(k,m) \in {\mathbb{Z}}^2 \\ k+m \; \mathrm{impair}}} q^{m^2 + k^2} \] En effet, en posant \( n = m^2 + k^2 \) et \(n\) impair, on a bien \( m^2 + 2mk + k^2 = {(m+k)}^2 \) impair, donc \( m + k \) impair. Dans cette dernière égalité, si on fait le changement de variable licite \( m = i - j \) et \( k = i + j + 1 \) , et comme: \[ \begin{aligned} {(i - j)}^2 + {(i + j + 1)}^2 \; & = (i^2 - 2ij + j^2) + (i^2 + j^2 + 1 + 2ij + 2i + 2j) \\ & = 2i^2 + 2j^2 + 2i + 2j + 1 \\ & = 2 {\left( i + \frac{1}{2} \right)}^2 + 2 {\left( j + \frac{1}{2} \right)}^2 \end{aligned} \] On trouve alors: \[ \theta_3^2(q) - \theta_3^2(q^2) = \sum_{(k,m) \in {\mathbb{Z}}^2 } {(q^2)}^{{(i + \frac{1}{2})}^2 + {(j + \frac{1}{2})}^2} = \theta_2^2(q^2) \] d'où:

En écrivant: \[ \theta_3^2(q^2) - \theta_2^2(q^2) = 2 \theta_3^2(q^2) - \left( \theta_3^2(q^2) + \theta_2^2(q^2) \right) \] et en tenant compte de \((3)\) et de \((6)\), ça donne: \[ \begin{aligned} \theta_3^2(q^2) - \theta_2^2(q^2) \; & = \theta_3^2(q) + \theta_4^2(q) - \theta_3^2(q) \\ & = \theta_4^2(q) \end{aligned} \tag{7} \] On trouve donc, en tenant compte de \((6)\) et \((7)\) puis de \((4)\): \[ \begin{aligned} \theta_3^4(q^2) - \theta_2^4(q^2) \; & = \left( \theta_3^2(q^2) + \theta_2^2(q^2) \right) \left( \theta_3^2(q^2) - \theta_2^2(q^2) \right) \\ & = \theta_3^2(q) \; \theta_4^2(q) \\ & = \theta_4^4(q^2) \end{aligned} \] ce qui donne, en remplaçant \( q^2 \) par \( q \): \[ \theta_2^4(q) + \theta_4^4(q) = \theta_3^4(q) \] et, comme \( \theta_3(q) \) est non nul, en divisant:

Nous avons déjà quelques formules avec les fonctions Theta. Pour aller plus loin, nous allons devoir établir une nouvelle identité qui nous permettra d'exprimer les fonctions Theta sous forme de produits infinis. Historiquement, c'est d'abord par ces produits que Gauss et Jacobi ont introduit ces fonctions. Ensuite, ils ont obtenus les développements que nous avons découverts dans le chapitre précédent.

Le triple produit de Jacobi

Posons, pour \( x \in \mathbb{C}^* \) et \( q \in \mathbb{C} \) , \( |q| < 1 \) : \[ F(x,q) = \prod_{n=1}^{+ \infty} \left( 1 + x q^{2n-1} \right) \left( 1 + \frac{q^{2n-1}}{x} \right) \] Alors, pour \( q \) fixé, \( F(x,q) \) est analytique sur \( \mathbb{C} - \{ 0 \} \) et a un développement de Laurent en \( 0 \). On a de plus: \[ F(x,q) = F \left( \frac{1}{x} , q \right) \] et \[ \begin{aligned} F(x q^2 , q) \; & = \prod_{n=1}^{+ \infty} \left( 1 + x q^{2n+1} \right) \left( 1 + \frac{q^{2n-3}}{x} \right) \\ & = F(x,q) \frac{1 + \frac{1}{q x}}{1 + q x} \\ & = \frac{F(x,q)}{q x} \end{aligned} \] Ecrivons le développement de Laurent de \( F(x,q) \): \[ F(x,q) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} C_n(q) x^n \] On a alors: \( C_n(q) = C_{-n}(q) \) car \( F(x,q) = F(\frac{1}{x},q) \) . On a aussi: \[ F(x q^2 , q) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} C_n(q) q^{2n} x^n \] qui peut aussi s'écrire: \[ \begin{aligned} \frac{F(x,q)}{q x} \; & = \sum_{n \in \mathbb{Z}} \frac{C_n(q)}{q} x^{n-1} \\ & = \sum_{n \in \mathbb{Z}} \frac{C_{n+1}(q)}{q} x^n \end{aligned} \] On a donc: \[ \frac{C_{n+1}(q)}{q} = C_n(q) q^{2n} \qquad \forall n \in \mathbb{Z} \] soit: \[ C_{n+1}(q) = C_n(q) q^{2n+1} \qquad \forall n \in \mathbb{Z} \] On a donc: \[ \begin{aligned} C_1(q) \; & = q C_0(q) \\ C_2(q) \; & = q^3 C_1(q) = q^4 C_0(q) \\ C_3(q) \; & = q^5 C_2(q) = q^9 C_0(q) \end{aligned} \] et comme la somme des \(n\) premiers nombres impairs est égale à \(n^2\) , de proche en proche, on a: \[ C_n(q) = q^{n^2} C_0(q) \qquad \forall n \in \mathbb{N} \] ce qui donne: \[ F(x,q) = C_0(q) \sum_{n \in \mathbb{Z}} x^n q^{n^2} \tag{1} \] Reste à évaluer \( C_0(q) \).

En faisant \( x=1 \) et \( x=-1 \) dans \((1)\) et en remplaçant \(F(x,q)\) par son expression sous forme de produit, on trouve respectivement: \[ C_0(q) \theta_3(q) = \prod_{n=1}^{+ \infty} {(1 + q^{2n-1})}^2 \tag{2} \] et \[ C_0(q) \theta_4(q) = \prod_{n=1}^{+ \infty} {(1 - q^{2n-1})}^2 \tag{3} \] et comme \( \sqrt{\theta_3(q) \theta_4(q)} = \theta_4(q^2) \) (cf. chapitre précédent), en faisant la moyenne géométrique de \((2)\) et \((3)\) , on trouve: \[ C_0(q) \theta_4(q^2) = \prod_{n=1}^{+ \infty} (1 - q^{2(2n-1)}) \tag{4} \] mais en remplaçant \( q \) par \( q^2 \) dans \((3)\) , on a: \[ C_0(q^2) \theta_4(q^2) = \prod_{n=1}^{+ \infty} {(1 - q^{2(2n-1)})}^2 \tag{5} \] En divisant \((5)\) par \((4)\) , on obtient: \[ \frac{C_0(q^2)}{C_0(q)} = \prod_{n=1}^{+ \infty} (1 - q^{2(2n-1)}) \] Maintenant, écrivons: \[ \begin{aligned} \frac{C_0(q^{2^k})}{C_0(q)} \; & = \frac{C_0(q^2)}{C_0(q)} \frac{C_0(q^4)}{C_0(q^2)} \frac{C_0(q^8)}{C_0(q^4)} \cdots \frac{C_0(q^{2^{k-1}})}{C_0(q^{2^{k-2}})} \frac{C_0(q^{2^k})}{C_0(q^{2^{k-1}})} \\ & = \prod_{m=1}^k \frac{C_0(q^{2^m})}{C_0(q^{2^{m-1}})} \\ & = \prod_{m=1}^k \prod_{n=1}^{+ \infty} (1 - q^{2^m \; (2n-1)}) \end{aligned} \] en faisant tendre \(k\) vers l'infini \( q^{2^k} \) tend vers \( 0 \) et, \( C_0(q) \) étant analytique et prenant la valeur \( 1 \) en \( 0 \) , on obtient: \[ \frac{1}{C_0(q)} = \prod_{m=1}^{+ \infty} \prod_{n=1}^{+ \infty} (1 - q^{2^m \; (2n-1)}) \] Et remarquant que lorsque \( m \) et \( n \) parcourent \( \mathbb{N}^* \) , \( 2^m (2n-1) \) parcourt l'ensemble des multiples de \( 2 \) et que chaque multiple de \( 2 \) ne peut s'écrire sous la forme \( 2^m (2n-1) \) que d'une seule façon, on trouve donc: \[ \frac{1}{C_0(q)} = \prod_{n=1}^{+ \infty} (1 - q^{2m}) \] Ainsi, nous avons démontré le triple produit de Jacobi:

Avec cette formule, nous allons pouvoir exprimer les fonctions theta (ainsi que leurs produits et rapports) sous forme de produits infinis. En faisant \( x = 1 \) et \( x = -1 \) , on trouve respectivement: \[ \theta_3(q) = \prod_{n=1}^{+ \infty} {\left( 1 + q^{2n-1} \right)}^2 \left( 1 - q^{2n} \right) \tag{7} \] et \[ \theta_4(q) = \prod_{n=1}^{+ \infty} {\left( 1 - q^{2n-1} \right)}^2 \left( 1 - q^{2n} \right) \tag{8} \] En faisant \( x = q \) , on a: \[ \sum_{n \in \mathbb{Z}} q^{n^2 + n} = \prod_{n=1}^{+ \infty} \left( 1 + q^{2n} \right) \left( 1 + q^{2n-2} \right) \left( 1 - q^{2n} \right) \] soit, puisque \( 1 + q^0 = 2 \) : \[ \theta_2(q) = 2 q^{\frac{1}{4}} \prod_{n=1}^{+ \infty} {\left( 1 + q^{2n} \right)}^2 \left( 1 - q^{2n} \right) \tag{9} \] De ces formules, on déduit: \[ \begin{aligned} \frac{\theta_4(q)}{\theta_3(q)} \; & = \prod_{n=1}^{+ \infty} {\left( \frac{1 - q^{2n-1}}{1 + q^{2n-1}} \right)}^2 \\ & = \prod_{n=1}^{+ \infty} {\left( 1 - \frac{2 q^{2n-1}}{1 + q^{2n-1}} \right)}^2 \end{aligned} \] or, la dérivée de \( \frac{2x}{1+x} \) étant \( \frac{2}{{(1+x)}^2} \) , elle est strictement positive pour tout \( x \) réel. Donc \( 1 - \frac{2 q^{2n-1}}{1 + q^{2n-1}} \) est strictement décroissante. Par passage au produit infini, \( \frac{\theta_4(q)}{\theta_3(q)} \) est donc strictement décroissante sur \( [0;1[ \).

De plus, l'expression de \( \frac{\theta_4(q)}{\theta_3(q)} \) sous forme de produit garde un sens lorsque \( q=1 \) pour donner une valeur nulle. Ainsi, comme \( \frac{\theta_4(q)}{\theta_3(q)} \) est continue (car analytique), strictement décroissante de \( [0;1] \) sur \( [0;1] \), c'est une bijection.

Donc, pour tout \( k' \in ]0;1[ \) , il existe un unique \( q \in ]0;1[ \) tel que: \[ k' = \frac{\theta_4^2(q)}{\theta_3^2(q)} \] on a alors, en vertu de la formule \((8)\) du chapitre précédent: \[ k = \sqrt{1 - {k'}^2} = \frac{\theta_2^2(q)}{\theta_3^2(q)} \] C'est pourquoi, désormais, on considèrera le module \(k\) et son module complémentaire \(k'\) comme fonction du nôme \(q\) (sans pour autant les noter \( k(q) \) et \( k'(q) \) pour ne pas alourdir les écritures). Comme \( M \left( \theta_3^2(q) , \theta_4^2(q) \right) = 1 \) (formule \((5)\) du chapitre précédent), on a alors: \[ M \left( 1 , \frac{\theta_4^2(q)}{\theta_3^2(q)} \right) = M (1,k') = \frac{1}{\theta_3^2(q)} \] Ainsi, l'expression de \(K\) en fonction de la moyenne arithmético-géométrique donne: \[ K(k) = \frac{\pi}{2} \frac{1}{M(1,k')} = \frac{\pi}{2} \theta_3^2(q) \] Jolie formule, non ? Et ce n'est que la première d'une longue série de formules plus étonnantes encore !

La formule sommatoire de Poisson

Continuons à établir des formules impliquant les fonctions theta. Celles que nous obtiendrons ici seront décisives pour la suite. Nous allons montrer une version légèrement plus faible de la formule sommatoire de Poisson, cela suffira dans les cas qui nous intêressent.

Soit \( f \) une fonction continue, positive, croissante sur \( ]- \infty ; 0] \) et décroissante sur \( [0 ; + \infty [ \). Supposons, de plus, que \( f \) soit intégrable sur \( \mathbb{R} \).

Comme: \[ \int_{- \infty}^{+ \infty} f(x) \; \mathrm{d}x = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \int_n^{n+1} f(x) \; \mathrm{d}x \] et \[ \int_n^{n+1} f(x) \; \mathrm{d}x \; \geq f(n) \qquad \mbox{ pour } \; n < 0 \; \mbox{ car } \; f \; \mbox{ croissante sur } \; ]- \infty ; 0] \] \[ \int_n^{n+1} f(x) \; \mathrm{d}x \; \geq f(n+1) \qquad \mbox{ pour } \; n \geq 0 \; \mbox{ car } \; f \; \mbox{ décroissante sur } \; [0 ; + \infty [ \] alors: \[ f(0) + \int_{- \infty}^{+ \infty} f(x) \; \mathrm{d}x \geq \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} f(n) \] donc \( \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} f(n) \) est une quantité positive et finie.

Dans le même principe, en posant \( y \in [0; 1[ \) , on a: \[ \int_{- \infty}^{+ \infty} f(x) \; \mathrm{d}x = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \int_{n+y}^{n+y+1} f(x) \; \mathrm{d}x \] et comme \[ \int_{n+y}^{n+y+1} f(x) \; \mathrm{d}x \; \geq f(n+y) \qquad \mbox{ pour } \; n \leq y-1 \] \[ \int_{n+y}^{n+y+1} f(x) \; \mathrm{d}x \; \geq f(n+y+1) \qquad \mbox{ pour } \; n \geq y \] par sommation: \[ f(y) + \int_{- \infty}^{+ \infty} f(x) \; \mathrm{d}x \geq \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} f(n+y) \] donc \( \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} f(n+y) \) est également une quantité positive et finie.

On peut donc définir: \[ F(x) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} f(n+x) \] \( F \) est donc bornée sur \( \mathbb{R} \) et périodique de période \(1\) par construction. On peut donc la décomposer en somme de Fourier: \[ F(x) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \alpha_n(F) e^{2 i \pi n x} \tag{1} \] où \[ \alpha_n(F) = \int_0^1 F(t) e^{-2 i \pi n t} \; \mathrm{d}t \] Les majorations préalablement établies, le fait que \( f \) soit positive et que les bornes d'intégration sont finies nous permet d'intervertir la somme et l'intégrale: \[ \begin{aligned} \alpha_n(F) \; & = \int_0^1 \left( \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} f(k+t) \right) e^{-2 i \pi n t} \; \mathrm{d}t \\ & = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} \int_0^1 f(k+t) e^{-2 i \pi n t} \; \mathrm{d}t \end{aligned} \] et comme \( e^{-2 i \pi n t} = e^{-2 i \pi n (t+k)} \) pour tout \( k \in \mathbb{Z} \) , on a donc: \[ \begin{aligned} \alpha_n(F) \; & = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} \int_0^1 f(k+t) e^{-2 i \pi n (t+k)} \; \mathrm{d}t \\ & = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} \int_k^{k+1} f(t) e^{-2 i \pi n t} \; \mathrm{d}t \\ & = \int_{- \infty}^{+ \infty} f(t) e^{-2 i \pi n t} \; \mathrm{d}t \end{aligned} \] En remplaçant, dans \((1)\), \( \alpha_n(F) \) par cette dernière expresssion, on a donc: \[ F(x) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} e^{2 i \pi n x} \int_{- \infty}^{+ \infty} f(t) e^{-2 i \pi n t} \; \mathrm{d}t \] Nous venons donc de montrer que sous les seules hypothèses de départ pour \( f \), on a:

C'est la formule sommatoire de Poisson.

Appliquons \((2)\) pour \( f(x) = e^{-s x^2 \pi} \) avec \( s > 0 \). \(f\) vérifie bien les hypothèses de départ, ce qui donne: \[ \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} e^{-s {(n+x)}^2 \pi} = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} e^{2 i \pi n x} \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{-s t^2 \pi} e^{-2 i \pi n t} \; \mathrm{d}t \tag{3} \] En notant \( I_n \) l'intégrale du membre de droite, on peut écrire: \[ \begin{aligned} I_n \; & = \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{-s t^2 \pi} e^{-2 i \pi n t} \; \mathrm{d}t \\ & = \int_{- \infty}^0 e^{-s t^2 \pi} e^{-2 i \pi n t} \; \mathrm{d}t + \int_0^{+ \infty} e^{-s t^2 \pi} e^{-2 i \pi n t} \; \mathrm{d}t \\ & = \int_0^{+ \infty} e^{-s t^2 \pi} e^{2 i \pi n t} \; \mathrm{d}t + \int_0^{+ \infty} e^{-s t^2 \pi} e^{-2 i \pi n t} \; \mathrm{d}t \\ & = \int_0^{+ \infty} e^{-s t^2 \pi} \left( e^{2 i \pi n t} + e^{-2 i \pi n t} \right) \; \mathrm{d}t \\ & = 2 \int_0^{+ \infty} e^{-s t^2 \pi} \cos ( 2 \pi n t ) \; \mathrm{d}t \end{aligned} \] En posant \( y = t \sqrt{\pi s} \), on obtient: \[ \begin{aligned} I_n \; & = \frac{2}{\sqrt{\pi s}} \int_0^{+ \infty} e^{-y^2} \cos \left( \frac{2 \pi n y}{\sqrt{\pi s}} \right) \; \mathrm{d}y \\ & = \frac{2}{\sqrt{\pi s}} \int_0^{+ \infty} e^{-y^2} \cos \left( 2 y n \sqrt{\frac{\pi}{s}} \right) \; \mathrm{d}y \end{aligned} \] Utilisons temporairement la notation: \[ F(x) = \int_0^{+ \infty} e^{-y^2} \cos ( 2 x y ) \; \mathrm{d}y \] avec laquelle on a alors: \[ I_n = \frac{2}{\sqrt{s \pi}} F \left( n \sqrt{\frac{\pi}{s}} \right) \] En dérivant sous le signe somme, on trouve: \[ F'(x) = \int_0^{+ \infty} e^{-y^2} (-2 y) \sin ( 2 x y ) \; \mathrm{d}y \] En intégrant \[ I(a) = \int_0^a e^{-y^2} (-2 y) \sin ( 2 x y ) \; \mathrm{d}y \] par partie avec \[ \left\{ \begin{array}{ll} u' & = -2 y e^{-y^2} \\ v & = \sin(2 x y) \end{array} \right. \] d'où \[ \left\{ \begin{array}{ll} u & = e^{-y^2} \\ v' & = 2 x \cos(2 x y) \end{array} \right. \] On trouve: \[ \begin{aligned} I(a) \; & = [e^{-y^2} \sin(2 x y)]_0^a - \int_0^a 2 x e^{-y^2} \cos ( 2 x y ) \; \mathrm{d}y \\ & = e^{-a^2} \sin(2 a x) - 2 x \int_0^a e^{-y^2} \cos ( 2 x y ) \; \mathrm{d}y \end{aligned} \] En faisant tendre \(a\) vers l'infini, on a alors l'équation différentielle: \[ F'(x) = -2 x F(x) \] Cette équation admet pour solutions les fonctions \( C e^{-x^2} \) où \(C\) est une constante réelle quelconque. Calculons \(F(0)\): \[ F(0) = \int_0^{+ \infty} e^{-y^2} \; \mathrm{d}y = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \] On a donc notre fonction \(F\) : \[ F(x) = \frac{\sqrt{\pi}}{2} e^{-x^2} \] Donc: \[ I_n = \frac{2}{\sqrt{s \pi}} F \left( n \sqrt{\frac{\pi}{s}} \right) = \frac{2}{\sqrt{s \pi}} \frac{\sqrt{\pi}}{2} e^{-n^2 \frac{\pi}{s}} \] Ce qui donne après simplifications: \[ I_n = \frac{1}{\sqrt{s}} e^{- \pi \frac{n^2}{s}} \] En remplaçant l'intégrale de l'équation \((3)\) par cette dernière expression, on a alors:

En faisant \( x = 0 \) dans \((4)\), on a donc: \[ \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} e^{-s \pi n^2} = \frac{1}{\sqrt{s}} \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} e^{- \pi \frac{n^2}{s}} \] qui peut aussi s'écrire: \[ \theta_3(e^{-s \pi}) = \frac{1}{\sqrt{s}} \theta_3(e^{- \frac{\pi}{s}}) \] En faisant \( x = \frac{1}{2} \) dans \((4)\), on a aussi: \[ \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} e^{-s \pi {(n + 1/2)}^2} = \frac{1}{\sqrt{s}} \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} {(-1)}^n e^{- \pi \frac{n^2}{s}} \] qui peut aussi s'écrire: \[ \theta_2(e^{-s \pi}) = \frac{1}{\sqrt{s}} \theta_4(e^{- \frac{\pi}{s}}) \] En remplaçant \( s \) par \( \frac{1}{s} \) dans cette dernière égalité, on trouve: \[ \theta_2(e^{- \frac{\pi}{s}}) = \sqrt{s} \; \theta_4(e^{- s \pi}) \] Nous avons donc obtenu ces trois formules, valables pour \( s \) réel strictement positif:

La fonction \( s \longmapsto e^{- \pi s} \) est une bijection décroissante de \( ]0; + \infty[ \) sur \( ]0;1[ \). Ceci incite à écrire le nôme \( q \) sous la forme \( e^{- \pi s} \). Et comme nous avions décidé de rendre \( k \) dépendant du nôme, voyons ce que cela donne: \[ k(q) = k(e^{- \pi s}) = \frac{\theta_2^2(e^{- \pi s})}{\theta_3^2(e^{- \pi s})} \] et \[ \begin{aligned} k'(q) = k'(e^{- \pi s}) \; & = \frac{\theta_4^2(e^{- \pi s})}{\theta_3^2(e^{- \pi s})} \\ & = \frac{\frac{1}{s} \theta_2^2(e^{- \frac{\pi}{s}})}{\frac{1}{s} \theta_3^2(e^{- \frac{\pi}{s}})} \\ & = \frac{\theta_2^2(e^{- \frac{\pi}{s}})}{\theta_3^2(e^{- \frac{\pi}{s}})} \\ & = k(e^{- \frac{\pi}{s}}) \end{aligned} \] Rappelons nous que \( K(k(q)) = \frac{\pi}{2} \theta_3^2(q) \) et calculons le rapport suivant: \[ \begin{aligned} \frac{K'(k(q))}{K(k(q))} \; & = \frac{K(k'(q))}{K(k(q))} \\ & = \frac{K'(k(e^{- \frac{\pi}{s}}))}{K(k(e^{- \pi s}))} \\ & = \frac{\theta_3^2(e^{- \frac{\pi}{s}})}{\theta_3^2(e^{- \pi s})} \\ & = \frac{s \theta_3^2(e^{- \pi s})}{\theta_3^2(e^{- \pi s})} \\ & = s \end{aligned}\] que l'on peut écrire: