On sait que les fonctions \( K \) et \( K' \) vérifient: \[ (k^3 - k) \ddot{F}(k) + (3k^2 - 1) \dot{F}(k) + k F(k) = 0 \tag{1} \] Supposons qu'une fonction \( F \) soit solution de l'équation \((1)\) et écrivons: \[ F = u Z \] où \( u \) et \( Z \) sont des fonctions. Dans ce qui suit, nous remplacerons les notations \( u(k) \) et \( Z(k) \) par \( u \) et \( Z \) respectivement. Cela permettra de rendre les développements plus clairs. Les dérivées de \( F \) s'écrivent alors: \[ \dot{F} = \dot{u} Z + u \dot{Z} \] \[ \ddot{F} = \ddot{u} Z + 2 \dot{u} \dot{Z} + u \ddot{Z} \] L'équation \((1)\) devient: \[ (k^3 - k) (\ddot{u} Z + 2 \dot{u} \dot{Z} + u \ddot{Z}) + (3k^2 - 1) (\dot{u} Z + u \dot{Z}) + k u Z = 0 \] soit, en réarrangeant les termes: \[ (k^3 - k) u \ddot{Z} + \left( 2(k^3 - k) \dot{u} + (3k^2 - 1) u \right) \dot{Z} + \left( (k^3 - k) \ddot{u} + (3k^2 - 1) \dot{u} + k u \right) Z = 0 \] Si nous "choisissons" \( u \) de telle manière que \( 2(k^3 - k) \dot{u} + (3k^2 - 1) u = 0 \) , alors \( Z = \frac{F}{u} \) vérifiera une équation différentielle d'ordre 2 sans terme en \( \dot{Z} \) , ce qui permettra d'en déduire une très interessante relation.

Prenons: \[ u(k) = \frac{1}{\sqrt{k (1 - k^2)}} = \frac{1}{\sqrt{k - k^3}} = (k - k^3)^{-1/2}\] Nous aurons besoin d'exprimer les dérivées première et seconde de \( u \) : \[ \begin{aligned} \dot{u}(k) \; & = - \frac{1}{2} (1 - 3k^2) (k - k^3)^{-3/2} \\ & = \frac{- \frac{1}{2} (1 - 3k^2)}{(k - k^3) \sqrt{k - k^3}} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \ddot{u}(k) \; & = - \frac{1}{2} \left( -6k (k-k^3)^{-3/2} - \frac{3}{2} {(1 - 3k^2)}^2 (k-k^3)^{-5/2} \right) \\ & = 3k (k - k^3)^{-3/2} + \frac{3}{4} {(1 - 3k^2)}^2 (k-k^3)^{-5/2} \\ & = \frac{3k (k - k^3) + \frac{3}{4} {(1 - 3k^2)}^2}{(k-k^3)^2 \sqrt{k-k^3}} \end{aligned} \] Le terme associé à \( \ddot{Z} \) peut alors s'écrire: \[ \begin{aligned} (k^3 - k) u \; & = \frac{k^3 - k}{\sqrt{k - k^3}} \\ & = - \sqrt{k - k^3} \end{aligned} \] le terme associé à \( \dot{Z} \) est nul, vérifions: \[ \begin{aligned} 2(k^3 - k) \dot{u} + (3k^2 - 1) u \; & = 2(k^3 - k) \frac{- \frac{1}{2} (1 - 3k^2)}{(k - k^3) \sqrt{k - k^3}} + (3k^2 - 1) \frac{1}{\sqrt{k - k^3}} \\ & = \frac{1 - 3k^2}{\sqrt{k - k^3}} + \frac{3k^2 - 1}{\sqrt{k - k^3}} \\ & = 0 \end{aligned} \] Quant au terme associé à \( Z \) , il est un peu plus compliqué: \[ (k^3 - k) \ddot{u} + (3k^2 - 1) \dot{u} + k u \] \[ \begin{aligned} & = (k^3 - k) \frac{3k (k - k^3) + \frac{3}{4} {(1 - 3k^2)}^2}{(k-k^3)^2 \sqrt{k-k^3}} + (3k^2 - 1) \left( \frac{- \frac{1}{2} (1 - 3k^2)}{(k - k^3) \sqrt{k - k^3}} \right) + \frac{k}{\sqrt{k - k^3}} \\ & = \frac{-3k (k - k^3) - \frac{3}{4} {(1 - 3k^2)}^2 + \frac{1}{2} {(1 - 3k^2)}^2 + k (k - k^3)}{(k - k^3) \sqrt{k - k^3}} \\ & = \frac{-2k (k - k^3) - \frac{1}{4} {(1 - 3k^2)}^2}{(k - k^3) \sqrt{k - k^3}} \end{aligned} \] L'équation suivante est donc vérifiée par \( Z \) (en ayant changé le signe): \[ \sqrt{k - k^3} \ddot{Z} + \frac{2k (k - k^3) + \frac{1}{4} {(1 - 3k^2)}^2}{(k - k^3) \sqrt{k - k^3}} Z = 0 \] En divisant par \( \sqrt{k - k^3} \) , cette équation devient: \[ \ddot{Z} + \frac{2k (k - k^3) + \frac{1}{4} {(1 - 3k^2)}^2}{{(k - k^3)}^2} Z = 0 \] Le terme associé à \( Z \) peut se simplifier en remarquant que: \[ \begin{aligned} \frac{2k (k - k^3) + \frac{1}{4} {(1 - 3k^2)}^2}{{(k - k^3)}^2} \; & = \frac{8k (k - k^3) + {(1 - 3k^2)}^2}{4k^2 {(1 - k^2)}^2} \\ & = \frac{8k^2 - 8k^4 + 1 - 6k^2 + 9k^4}{4k^2 {(1 - k^2)}^2} \\ & = \frac{1 + 2k^2 + k^4}{4k^2 {(1 - k^2)}^2} \\ & = \frac{1}{4k^2} {\left( \frac{1+k^2}{1-k^2} \right)}^2 \end{aligned} \] On a donc: \[ \ddot{Z} + \frac{1}{4k^2} {\left( \frac{1+k^2}{1-k^2} \right)}^2 Z = 0 \tag{2} \] Rappelons que cette équation est vérifiée par toute fonction \( \frac{F}{u} \) où \( F \) vérifie \((1)\) et \( u(k) = \frac{1}{\sqrt{k-k^3}} \). Donc, par exemple, \((2)\) est vérifiée par \( \sqrt{k-k^3} K(k) \) et par \( \sqrt{k-k^3} K'(k) \).

Voyons un résultat, bien connu des mathématiciens, qui nous sera très utile ici et qui justifie du pourquoi nous avons souhaité transformer \((1)\) en une équation différentielle du second ordre sans terme associé à la dérivée première.

Soient \( Z_1 \) et \( Z_2 \) deux solutions d'une équation différentielle \( \ddot{Z} + A Z = 0 \) où \( A \) est une fonction quelconque. Alors, de \( \ddot{Z} = -A Z \) , on tire: \[ \ddot{Z_1} Z_2 - Z_1 \ddot{Z_2} = -A Z_1 Z_2 + A Z_1 Z_2 = 0 \] or, la dérivée de \( \dot{Z_1} Z_2 - Z_1 \dot{Z_2} \) s'écrit: \[ \ddot{Z_1} Z_2 + \dot{Z_1} \dot{Z_2} - \dot{Z_1} \dot{Z_2} - Z_1 \ddot{Z_2} = \ddot{Z_1} Z_2 - Z_1 \ddot{Z_2} = 0 \] donc \( \dot{Z_1} Z_2 - Z_1 \dot{Z_2} \) est une fonction constante.

Notons, toujours en notant \( K \) au lieu de \( K(k) \) et pareillement pour les autres fonctions: \[ G = \sqrt{k - k^3} K \] \[ G^* = \sqrt{k - k^3} K' \] et leurs dérivées: \[ \dot{G} = \frac{1}{2} \frac{1 - 3k^2}{\sqrt{k - k^3}} K + \sqrt{k - k^3} \dot{K} \] \[ \dot{G^*} = \frac{1}{2} \frac{1 - 3k^2}{\sqrt{k - k^3}} K' + \sqrt{k - k^3} \dot{K'} \] donc: \[ \begin{aligned} G \dot{G^*} \; & = \sqrt{k - k^3} K \left( \frac{1}{2} \frac{1 - 3k^2}{\sqrt{k - k^3}} K' + \sqrt{k - k^3} \dot{K'} \right) \\ & = K \left( \frac{1}{2} (1 - 3k^2) K' + (k - k^3) \dot{K'} \right) \end{aligned} \] et \[ \begin{aligned} \dot{G} G^* \; & = \sqrt{k - k^3} K' \left( \frac{1}{2} \frac{1 - 3k^2}{\sqrt{k - k^3}} K + \sqrt{k - k^3} \dot{K} \right) \\ & = K' \left( \frac{1}{2} (1 - 3k^2) K + (k - k^3) \dot{K} \right) \end{aligned} \] on a donc: \[ G \dot{G^*} - \dot{G} G^* = \frac{1}{2} (1 - 3k^2) K K' + (k - k^3) K \dot{K'} - \frac{1}{2} (1 - 3k^2) K K' - (k - k^3) K' \dot{K} \] qui se simplifie en: \[ G \dot{G^*} - \dot{G} G^* = (k - k^3) \left( K \dot{K'} - K' \dot{K} \right) \] or, on sait que: \[ \dot{K} = \frac{E}{k - k^3} - \frac{K}{k} \] et, en rappelant que \( E'(k) = E(\sqrt{1 - k^2}) \) : \[ \begin{aligned} \dot{K'} \; & = \frac{-k}{\sqrt{1 - k^2}} \dot{K}(\sqrt{1 - k^2}) \\ & = \frac{-k}{\sqrt{1 - k^2}} \left( \frac{E'}{\sqrt{1 - k^2} - (1 - k^2) \sqrt{1 - k^2}} - \frac{K'}{\sqrt{1 - k^2}} \right) \\ & = \frac{-k}{1 - k^2} \left( \frac{E'}{k^2} - K' \right) \\ & = - \frac{1}{k - k^3} ( E' - k^2 K' ) \end{aligned} \] d'où: \[ G \dot{G^*} - \dot{G} G^* = (k - k^3) \left( - \frac{K}{k - k^3} ( E' - k^2 K' ) - K' \left( \frac{E}{k - k^3} - \frac{K}{k} \right) \right) \] soit: \[ \begin{aligned} G \dot{G^*} - \dot{G} G^* \; & = - K ( E' - k^2 K' ) - K' \left( E - (1 - k^2) K \right) \\ & = - K E' + k^2 K K' - K' E + K K' - k^2 K K' \end{aligned} \] Nous avons donc montré que la fonction \( K K' - K E' - K' E \) est constante. Il s'agit maintenant de trouver la valeur de cette constante.

Calculons \( K \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \) : \[ K \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \int_0^{\pi/2} \frac{\mathrm{d}\theta}{\sqrt{1 - \frac{1}{2} \sin^2 \theta}} \] La fonction sinus étant une bijection croissante de \( [0;\pi/2] \) sur \( [0;1] \) , le changement de variable \( t = \sin \theta \) donc \( \theta = \arcsin t \) et \( \mathrm{d}\theta = \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{1 - t^2}} \) donne directement: \[ K \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \int_0^1 \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{1 - \frac{1}{2} t^2} \; \sqrt{1 - t^2}} \] En remarquant que la fonction \( x \longmapsto \frac{x^2}{2 - x^2} \) est une bijection croissante de \( [0;1] \) sur \( [0;1] \) , le changement de variable licite \( x^2 = \frac{t^2}{2 - t^2} \) donne \( t^2 = \frac{2 x^2}{1 + x^2} \) ainsi que: \[ 1 - t^2 = \frac{1 - x^2}{1 + x^2} \] et \[ 2 - t^2 = \frac{2}{1 + x^2} \] Comme \( t \geq 0 \) , on a: \[ \begin{aligned} t \; & = \sqrt{\frac{2 x^2}{1 + x^2}} \\ & = \frac{x \sqrt{2}}{\sqrt{1 + x^2}} \end{aligned} \] d'où \[ \begin{aligned} \mathrm{d}t \; & = \sqrt{2} \frac{\sqrt{1 + x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{1 + x^2}}}{1 + x^2} \mathrm{d}x \\ & = \frac{\sqrt{2}}{(1 + x^2) \sqrt{1 + x^2}} \mathrm{d}x \end{aligned} \] On peut donc écrire: \[ K \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \sqrt{2} \int_0^1 \sqrt{\frac{1 + x^2}{1 - x^2}} \sqrt{1 + x^2} \frac{\mathrm{d}x}{(1 + x^2) \sqrt{1 + x^2}} \] donc: \[ \begin{aligned} K \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \; & = \sqrt{2} \int_0^1 \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1 - x^2} \sqrt{1 + x^2}} \\ & = \sqrt{2} \int_0^1 \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1 - x^4}} \end{aligned} \] Posons maintenant \( y = x^4 \) donc \( x = y^{1/4} \) et \( \mathrm{d}x = \frac{1}{4} y^{-3/4} \mathrm{d}y \) pour trouver: \[ K \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \frac{\sqrt{2}}{4} \int_0^1 y^{-3/4} (1 - y)^{-1/2} \mathrm{d}y \] Cette dernière écriture nous ramène à la fonction Bêta: \[ \begin{aligned} K \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \; & = \frac{\sqrt{2}}{4} B \left( \frac{1}{4} , \frac{1}{2} \right) \\ & = \frac{\sqrt{2}}{4} \frac{\Gamma \left( \frac{1}{4} \right) \Gamma \left( \frac{1}{2} \right)}{\Gamma \left( \frac{3}{4} \right)} \end{aligned} \] or \( \Gamma \left( \frac{1}{2} \right) = \sqrt{\pi} \) et, de \( \Gamma (x) \Gamma (1-x) = \frac{\pi}{\sin(\pi x)} \) , on tire: \[ \Gamma \left( \frac{1}{4} \right) \Gamma \left( \frac{3}{4} \right) = \frac{\pi}{\sin \frac{\pi}{4}} = \pi \sqrt{2} \] d'où \[ \Gamma \left( \frac{3}{4} \right) = \frac{\pi \sqrt{2}}{\Gamma \left( \frac{1}{4} \right)} \] On a donc: \[ \begin{aligned} K \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \; & = \frac{\sqrt{2}}{4} \frac{\sqrt{\pi} \; \Gamma \left( \frac{1}{4} \right)}{\frac{\pi \sqrt{2}}{\Gamma \left( \frac{1}{4} \right)}} \\ & = \frac{\sqrt{2} \; \sqrt{\pi} \; \Gamma^2 \left( \frac{1}{4} \right)}{4 \pi \sqrt{2}} \end{aligned} \] et finalement:

Calculons maintenant \( E \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \) : \[ E \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \int_0^{\pi/2} \sqrt{1 - \frac{1}{2} \sin^2 \theta} \; \mathrm{d}\theta \] La fonction cosinus étant une bijection décroissante de \( [0;\pi/2] \) sur \( [0;1] \) , le changement de variable \( t = \cos \theta \) donc \( \theta = \arccos t \) et \( \mathrm{d}\theta = \frac{- \mathrm{d}t}{\sqrt{1 - t^2}} \) donne: \[ \begin{aligned} E \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \; & = \int_0^1 \frac{\sqrt{1 - \frac{1}{2} (1 - t^2)}}{\sqrt{1 - t^2}} \mathrm{d}t \\ & = \int_0^1 \frac{\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} t^2}}{\sqrt{1 - t^2}} \mathrm{d}t \\ & = \frac{1}{\sqrt{2}} \int_0^1 \frac{\sqrt{1 + t^2}}{\sqrt{1 - t^2}} \mathrm{d}t \end{aligned} \] d'où: \[ \begin{aligned} E \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \; & = \frac{1}{\sqrt{2}} \int_0^1 \frac{1 + t^2}{\sqrt{1 - t^4}} \mathrm{d}t \\ & = \frac{1}{\sqrt{2}} \int_0^1 \frac{t^2}{\sqrt{1 - t^4}} \mathrm{d}t + \frac{1}{\sqrt{2}} \int_0^1 \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{1 - t^4}} \end{aligned} \] or, on sait que: \[ \int_0^1 \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{1 - t^4}} = \frac{\sqrt{\pi}}{4} \frac{\Gamma \left( \frac{1}{4} \right)}{\Gamma \left( \frac{3}{4} \right)} \] et le changement de variable \( x = t^4 \) donne: \[ \begin{aligned} \int_0^1 \frac{t^2}{\sqrt{1 - t^4}} \mathrm{d}t \; & = \int_0^1 x^{1/2} \frac{1}{4} x^{-3/4} (1 - x)^{-1/2} \mathrm{d}x \\ & = \frac{1}{4} \int_0^1 x^{-1/4} (1 - x)^{-1/2} \mathrm{d}x \\ & = \frac{1}{4} B \left( \frac{3}{4} , \frac{1}{2} \right) \\ & = \frac{1}{4} \frac{\Gamma \left( \frac{3}{4} \right) \Gamma \left( \frac{1}{2} \right)}{\Gamma \left( \frac{5}{4} \right)} \end{aligned} \] or \( \Gamma \left( \frac{5}{4} \right) = \frac{1}{4} \Gamma \left( \frac{1}{4} \right) \) , donc: \[ \int_0^1 \frac{t^2}{\sqrt{1 - t^4}} \mathrm{d}t = \sqrt{\pi} \frac{\Gamma \left( \frac{3}{4} \right)}{\Gamma \left( \frac{1}{4} \right)} \] On peut donc écrire: \[ \begin{aligned} E \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \; & = \frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{2}} \frac{\Gamma \left( \frac{3}{4} \right)}{\Gamma \left( \frac{1}{4} \right)} + \frac{\sqrt{\pi}}{4 \sqrt{2}} \frac{\Gamma \left( \frac{1}{4} \right)}{\Gamma \left( \frac{3}{4} \right)} \\ & = \frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{2}} \left( \frac{\Gamma \left( \frac{3}{4} \right)}{\Gamma \left( \frac{1}{4} \right)} + \frac{\Gamma \left( \frac{1}{4} \right)}{4 \; \Gamma \left( \frac{3}{4} \right)} \right) \\ & = \frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{2}} \frac{4 \; \Gamma^2 \left( \frac{3}{4} \right) + \Gamma^2 \left( \frac{1}{4} \right)} {4 \; \Gamma \left( \frac{1}{4} \right) \Gamma \left( \frac{3}{4} \right)} \end{aligned} \] et comme \( \Gamma \left( \frac{1}{4} \right) \Gamma \left( \frac{3}{4} \right) = \pi \sqrt{2} \) , on a finalement:

Nous sommes maintenant en mesure de calculer la valeur de la constante \( K K' - K E' - K' E \) car, pour \( k = \frac{1}{\sqrt{2}} \), on a \( k' = \sqrt{1 - k^2} = k \) donc \( K(k) = K'(k) \) et \( E(k) = E'(k) \). Cette constante est donc égale à: \[ K \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) K' \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) - K \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) E' \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) - K' \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) E \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \] \[ \begin{aligned} & = K^2 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) - 2 K \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) E \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \\ & = \frac{\Gamma^4 \left( \frac{1}{4} \right)}{16 \pi} - 2 \frac{\Gamma^2 \left( \frac{1}{4} \right)}{4 \sqrt{\pi}} \frac{4 \; \Gamma^2 \left( \frac{3}{4} \right) + \Gamma^2 \left( \frac{1}{4} \right)}{8 \sqrt{\pi}} \\ & = \frac{1}{16 \pi} \left( \Gamma^4 \left( \frac{1}{4} \right) - 4 \; \Gamma^2 \left( \frac{1}{4} \right) \Gamma^2 \left( \frac{3}{4} \right) - \Gamma^4 \left( \frac{1}{4} \right) \right) \\ & = - \frac{1}{4 \pi} \Gamma^2 \left( \frac{1}{4} \right) \Gamma^2 \left( \frac{3}{4} \right) \\ & = - \frac{1}{4 \pi} ( \pi \sqrt{2} )^2 \\ & = - \frac{\pi}{2} \end{aligned} \] En faisant un dernier changement de signe pour l'esthétique, nous venons de montrer:

C'est la relation de Legendre.

Sachant qu'en calculant la moyenne arithmético-géométrique à partir de \( a_0 = 1 \) et \( b_0 = \frac{1}{\sqrt{2}} \) , on a: \[ \begin{aligned} K \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \; & = I \left( 1 , \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \\ & = \frac{\pi}{2 M \left( 1 , \frac{1}{\sqrt{2}} \right)} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} E \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \; & = J \left( 1 , \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \\ & = \left( 1 - \frac{1}{2} \sum_{n = 0}^{+ \infty} 2^n ( a_n^2 - b_n^2 ) \right) \frac{\pi}{2 M \left( 1 , \frac{1}{\sqrt{2}} \right)} \end{aligned} \] et \[ 2 K \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) E \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) - K^2 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \frac{\pi}{2} \] on a donc: \[ \frac{\pi^2}{4 M^2 \left(1,\frac{1}{\sqrt{2}}\right)} \left( 1 - \sum_{n = 0}^{+ \infty} 2^n ( a_n^2 - b_n^2 ) \right) = \frac{\pi}{2} \] ce qui donne: \[ \frac{2 M^2 \left(1,\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}{\displaystyle{1 - \sum_{n = 0}^{+ \infty} 2^n ( a_n^2 - b_n^2 )}} = \pi \] Comme \( a_0^2 - b_0^2 = \frac{1}{2} \) , on a: \[ 1 - \sum_{n = 0}^{+ \infty} 2^n ( a_n^2 - b_n^2 ) = \frac{1}{2} - \sum_{n = 1}^{+ \infty} 2^n ( a_n^2 - b_n^2 ) \] ce qui permet d'obtenir la forme habituellement utilisée:

Cette formule, découverte en 1976 indépendamment par Richard Brent et Eugène Salamin, converge quadratiquement vers \( \pi \). Elle est la première suite à convergence quadratique vers \( \pi \) , et ne nécessitant pas de fonction transcendante, à avoir été découverte. Ainsi, elle est particulièrement bien adaptée au calcul informatique des décimales de \( \pi \) , pourvu que l'on dispose d'algorithmes performants pour la multiplication, la division et l'extraction de racine carrée. Tous les outils nécessaires à sa démonstration étant connus dés le 19^e siècle, elle aurait très bien pu avoir été découverte sans avoir suscité l'interêt des chasseurs de décimales de l'époque.