Rappelons les définitions pour \( 0 < k < 1 \) : \[ K(k) = \int_0^{\pi/2} \frac{\mathrm{d}\theta}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2 \theta}} \] \[ E(k) = \int_0^{\pi/2} \sqrt{1 - k^2 \sin^2 \theta} \; \mathrm{d}\theta \] ainsi que: \[ k' = \sqrt{1 - k^2} \] et \[ K'(k) = K(k') = \int_0^{\pi/2} \frac{\mathrm{d}\theta}{\sqrt{1 - (1-k^2) \sin^2 \theta}} \] \[ E'(k) = E(k') = \int_0^{\pi/2} \sqrt{1 - (1-k^2) \sin^2 \theta} \; \mathrm{d}\theta \]

Pour étudier ces fonctions, nous allons avoir besoin de quelques résultats classiques sur les fonctions Gamma et Bêta d'Euler. Au besoin, ces résultats sont exposés dans la section correspondante du site.

Développements de Taylor de \(K\) et \(E\)

Rappelons la formule de Taylor, pour une fonction \(f\) indéfiniment continument dérivable au voisinage de \(x\) : \[ f(x+h) = \sum_{n=0}^{+ \infty} \frac{h^n}{n!} f^{(n)}(x) = f(x) + h f'(x) + \frac{h^2}{2} f''(x) + \dots \] Pour \( f: x \longmapsto \sqrt{x} \) , on a: \[ f'(x) = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} \qquad , \qquad f''(x) = -\frac{1}{4} x^{-\frac{3}{2}} \qquad , \qquad f^{(3)}(x) = \frac{3}{8} x^{-\frac{5}{2}} \] plus généralement, on voit que pour \( n > 1 \): \[ f^{(n)}(x) = (-1)^{n+1} \frac{3 \times 5 \times \dots \times (2n - 3)}{2^n} x^{-\frac{2n-1}{2}} \] Donc, en faisant \( x = 1 \) dans la formule de Taylor, on trouve: \[ \sqrt{1+h} = 1 + \frac{1}{2} h - \frac{1}{8} h^2 + \frac{1}{8} h^3 - \frac{5}{128} h^4 + \dots + (-1)^{n+1} \frac{3 \times 5 \times \dots \times (2n-3)}{2^n n!} h^n + \dots \] et donc: \[ \sqrt{1-h} = 1 - \frac{1}{2} h - \frac{1}{8} h^2 - \frac{1}{16} h^3 - \frac{5}{128} h^4 - \dots - \frac{3 \times 5 \times \dots \times (2n-3)}{2^n n!} h^n - \dots \] série qui converge pour \( |h| < 1 \) . En remplaçant \(h\) par \( k^2 \sin^2 t \) (on peut car \( 0 < k < 1 \) ), on a alors: \[ E(k) = \int_0^{\pi/2} \left( 1 - \frac{1}{2} k^2 \sin^2 t - \frac{1}{8} k^4 \sin^4 t - ... - \frac{3 \times 5 \times \dots \times (2n-3)}{2^n n!} k^{2n} \sin^{2n} t - \dots \right) \, \mathrm{d}t \] soit: \[ E(k) = \int_0^{\pi/2} \mathrm{d}t - \frac{1}{2} k^2 \int_0^{\pi/2} \sin^2 t \; \mathrm{d}t - \dots - \frac{3 \times 5 \times \dots \times (2n-3)}{2^n n!} k^{2n} \int_0^{\pi/2} \sin^{2n} t \; \mathrm{d}t - \dots \] Or, les intégrales de \(0\) à \(\pi\) de puissances de sinus s'évaluent bien avec la fonction Gamma d'Euler: \[ \int_0^{\pi/2} \sin^{2n} t \; \mathrm{d}t = \frac{1}{2} \frac{\Gamma \left( \frac{1}{2} \right) \Gamma \left( n + \frac{1}{2} \right)}{\Gamma ( n + 1)} = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \frac{ \frac{1}{2} \frac{3}{2} \frac{5}{2} \dots \frac{2n-1}{2} \sqrt{\pi}}{n!} \] ce qui donne finalement: \[ E(k) = \frac{\pi}{2} \left( 1 - \frac{1}{4} k^2 - \frac{3}{64} k^4 - \dots - {\left( \frac{3 \times 5 \times \dots \times (2n-3)}{2^n n!} \right)}^2 (2n-1) \; k^{2n} - \dots \right) \] qui peut aussi s'écrire:

Pour \( f: x \longmapsto x^{-1/2} \) , on a: \[ f'(x) = -\frac{1}{2} x^{-\frac{3}{2}} \qquad , \qquad f''(x) = \frac{3}{4} x^{-\frac{5}{2}} \qquad , \qquad f^{(3)}(x) = -\frac{15}{8} x^{-\frac{7}{2}} \] plus généralement, pour \( n > 0 \): \[ f^{(n)}(x) = (-1)^n \frac{3 \times 5 \times \dots \times (2n - 1)}{2^n} x^{-\frac{2n+1}{2}} \] En faisant \( x = 1 \) dans la formule de Taylor, on trouve: \[ \frac{1}{\sqrt{1+h}} = 1 - \frac{1}{2} h + \frac{3}{8} h^2 - \frac{5}{16} h^3 + \dots + (-1)^n \frac{3 \times 5 \times \dots \times (2n-1)}{2^n n!} h^n + ... \] et donc: \[ \frac{1}{\sqrt{1-h}} = 1 + \sum_{n=1}^{+ \infty} \frac{3 \times 5 \times \dots \times (2n-1)}{2^n n!} h^n \] qui converge également pour \( |h| < 1 \) . En remplaçant \(h\) par \( k^2 \sin^2 t \) , on trouve: \[ \frac{1}{\sqrt{1-k^2 \sin^2 t}} = 1 + \sum_{n=1}^{+ \infty} \frac{3 \times 5 \times \dots \times (2n-1)}{2^n n!} k^{2n} \sin^{2n} t \] En intégrant pour \(t\) de \(0\) à \(\pi/2\) et en tenant compte des expressions des puissances de sinus, on obtient:

Dérivées et équation différentielle de \(K\) et \(E\)

En dérivant \(E\) sous le signe somme, on a: \[ \dot{E}(k) = - \int_0^{\pi/2} \frac{k \sin^2 t \; \mathrm{d}t}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2 t}} \] donc, en multipliant par \(k\) , ça donne: \[ \begin{aligned} k \; \dot{E}(k) \; & = \int_0^{\pi/2} \frac{- k^2 \sin^2 t \; \mathrm{d}t}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2 t}} \\ & = \int_0^{\pi/2} \frac{(1 - k^2 \sin^2 t - 1) \mathrm{d}t}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2 t}} \\ & = \int_0^{\pi/2} \sqrt{1 - k^2 \sin^2 t} \; \mathrm{d}t - \int_0^{\pi/2} \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2 t}} \end{aligned} \] qui s'écrit: \[ k \; \dot{E}(k) = E(k) - K(k) \] ou encore:

En dérivant \((2)\) terme à terme, on obtient: \[ \dot{K}(k) = \frac{\pi}{2} \sum_{n=1}^{+ \infty} {\left( \frac{3 \times 5 \times \dots \times (2n-1)}{2^n n!} \right)}^2 2n k^{2n-1} \] On a donc: \[ k \; \dot{K}(k) = \frac{\pi}{2} \sum_{n=1}^{+ \infty} {\left( \frac{3 \times 5 \times \dots \times (2n-1)}{2^n n!} \right)}^2 2n k^{2n} \] et \[ k^3 \; \dot{K}(k) = \frac{\pi}{2} \sum_{n=1}^{+ \infty} {\left( \frac{3 \times 5 \times \dots \times (2n-1)}{2^n n!} \right)}^2 2n k^{2n+2} \] Si on note \( C_n = {\left( \frac{3 \times 5 \times \dots \times (2n - 1)}{2^n n!} \right)}^2 \) , alors, pour \( n > 1 \) , le coefficient de \( \frac{\pi}{2} k^{2n} \) dans le développement de \( (k - k^3) \dot{K}(k) \) est: \[ \begin{aligned} 2 n C_n - (2n - 2) C_{n-1} \; & = \left( 2n { \left( \frac{2n - 1}{2n} \right)}^2 - 2n - 2 \right) C_{n-1} \\ & = \left( (2n-1)^2 - 2n(2n-2) \right) \frac{C_{n-1}}{2n} \\ & = \frac{C_{n-1}}{2n} \end{aligned} \] car \( C_n = { \left( \frac{2n - 1}{2n} \right) }^2 C_{n-1} \) . Pour \( n = 1 \) , un calcul direct montre que le coefficient de \( \frac{\pi}{2} k^2 \) est égal à \( \frac{1}{2} \).

Des développements de \( K \) et \( E \) en fonction des \( C_n \), on voit que: \[ E(k) - K(k) + k^2 K(k) = \frac{\pi}{2} \left( - \sum_{n=1}^{+ \infty} C_n \frac{k^{2n}}{2n-1} - \sum_{n=1}^{+ \infty} C_n k^{2n} + k^2 + \sum_{n=1}^{+ \infty} C_n k^{2n+2} \right) \] donc le coefficient de \( \frac{\pi}{2} k^2 \) dans le développement de \( E(k) - K(k) + k^2 K(k) \) est \( 1 - 2 C_1 = \frac{1}{2} \) et, pour \( n > 1 \) , le coefficient de \( \frac{\pi}{2} k^{2n} \) dans le développement de \( E(k) - K(k) + k^2 K(k) \) est: \[ \begin{aligned} - C_n \frac{1}{2n - 1} - C_n + C_{n-1} \; & = C_{n-1} \left( 1 - \frac{(2n-1)^2}{(2n)^2} \frac{1}{2n-1} - \frac{(2n-1)^2}{(2n)^2} \right) \\ & = \frac{C_{n-1}}{2n} \left( 2n - \frac{(2n-1)^2}{2n} \left( \frac{1}{2n-1} + 1 \right) \right) \\ & = \frac{C_{n-1}}{2n} \left( 2n - \frac{(2n-1)^2}{2n} \frac{2n}{2n-1} \right) \\ & = \frac{C_{n-1}}{2n} \left( 2n (2n-1) \right) \\ & = \frac{C_{n-1}}{2n} \end{aligned} \] Les coefficients des développements de Taylor de \( (k - k^3) \dot{K}(k) \) et de \( E(k) - K(k) + k^2 K(k) \) sont égaux. On a donc: \[ (k - k^3) \dot{K}(k) = E(k) - K(k) + k^2 K(k) \] que l'on écrit: \[ (k^3 - k) \dot{K}(k) + E(k) + (k^2 - 1) K(k) = 0 \tag{4} \] Cette dernière équation permet d'exprimer \( \dot{K}(k) \) en fonction de \( E(k) \) et \( K(k) \) : \[ \dot{K}(k) = \frac{E(k) + (k^2 - 1) K(k)}{k - k^3} \] soit:

En dérivant \((4)\) on trouve: \[ (k^3 - k) \ddot{K}(k) + (3k^2 - 1) \dot{K}(k) + \dot{E}(k) + (k^2 - 1) \dot{K} + 2k K(k) = 0 \] Remplaçons \( \dot{E} \) par l'expression donnée dans \((3)\) et la deuxième occurence de \( \dot{K} \) (celle avec le coefficient \( k^2 - 1 \)) par l'expression donnée dans \((5)\) . Nous obtenons: \[ (k^3 - k) \ddot{K}(k) + (3k^2 - 1) \dot{K}(k) + \frac{E(k)}{k} - \frac{K(k)}{k} - \frac{E(k)}{k} - \left( k - \frac{1}{k} \right) K(k) + 2k K(k) = 0 \] soit: \[ (k^3 - k) \ddot{K}(k) + (3k^2 - 1) \dot{K}(k) + k K(k) = 0 \tag{6} \] Ainsi, \( K \) vérifie l'équation différentielle:

Intéressons nous , maintenant, à la fonction \( K' \) et rappelons que: \[ K'(k) = K(k') = K(\sqrt{1 - k^2}) = \int_0^{\pi/2} \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{1 - (1-k^2) \sin^2 t}} \] Soit la fonction \( f: x \longmapsto \sqrt{1 - x^2} \) dont les dérivées première et seconde peuvent s'écrire: \[ \dot{f} = \frac{-2 x}{2 \sqrt{1 - x^2}} = \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}} \] \[ \ddot{f} = \frac{- \sqrt{1 - x^2} - (-x) \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}}}{1 - x^2} = - \frac{(1 - x^2) + x^2}{(1 - x^2) \sqrt{1 - x^2}} = - \frac{1}{(1 - x^2) \sqrt{1 - x^2}} \] Dérivons \( K' \) considérée comme \( K \circ f \) , la composée de \( K \) par \( f \) : \[ \dot{K'}(k) = \dot{f} \dot{K}( f(k) ) = \frac{-k}{\sqrt{1 - k^2}} \dot{K}(\sqrt{1 - k^2}) \tag{7} \] Dérivons à nouveau: \[ \begin{aligned} \ddot{K'}(k) \; & = \ddot{f} \dot{K}( f(k) ) + {\dot{f}}^2 \ddot{K}( f(k) ) \\ & = \frac{k^2}{1 - k^2} \ddot{K}(\sqrt{1 - k^2}) - \frac{1}{(1 - k^2) \sqrt{1 - k^2}} \dot{K}(\sqrt{1 - k^2}) \end{aligned} \tag{8} \] Multiplions \((7)\) par \( (3k^2 - 1) \) : \[ (3k^2 - 1) \dot{K'}(k) = \frac{-k (3k^2 - 1)}{\sqrt{1 - k^2}} \dot{K}(\sqrt{1 - k^2}) \tag{9} \] puis \((8)\) par \( (k^3 - k) = -k(1 - k^2) \) : \[ (k^3 - k) \ddot{K'}(k) = -k^3 \ddot{K}(\sqrt{1 - k^2}) + \frac{k}{\sqrt{1 - k^2}} \dot{K}(\sqrt{1 - k^2}) \tag{10} \] En additionnant \((9)\) et \((10)\) , on a donc: \[ \begin{aligned} (3k^2 - 1) \dot{K'}(k) & + (k^3 - k) \ddot{K'}(k) \\ & \qquad = \frac{-k (3k^2 - 1)}{\sqrt{1 - k^2}} \dot{K}(\sqrt{1 - k^2}) - k^3 \ddot{K}(\sqrt{1 - k^2}) + \frac{k}{\sqrt{1 - k^2}} \dot{K}(\sqrt{1 - k^2}) \end{aligned} \] soit, en regroupant les termes en \( \dot{K}(\sqrt{1 - k^2}) \) : \[ (3k^2 - 1) \dot{K'}(k) + (k^3 - k) \ddot{K'}(k) = \frac{-k (3k^2 - 2)}{\sqrt{1 - k^2}} \dot{K}(\sqrt{1 - k^2}) - k^3 \ddot{K}(\sqrt{1 - k^2}) \] En ajoutant \( k K'(k) = k K(\sqrt{1 - k^2}) \) à cette dernière égalité, on peut donc écrire: \[ \begin{aligned} (k^3 - k) \ddot{K'}(k) & + (3k^2 - 1) \dot{K'}(k) + k K'(k) \\ & \qquad = - k^3 \ddot{K}(\sqrt{1 - k^2}) + \frac{-k (3k^2 - 2)}{\sqrt{1 - k^2}} \dot{K}(\sqrt{1 - k^2}) + k K(\sqrt{1 - k^2}) \end{aligned} \] En tirant un facteur \( \frac{k}{\sqrt{1 - k^2}} \) dans le membre de droite, on a: \[ (k^3 - k) \ddot{K'}(k) + (3k^2 - 1) \dot{K'}(k) + k K'(k) = \] \[ \frac{k}{\sqrt{1 - k^2}} \left( - k^2 \sqrt{1 - k^2} \ddot{K}(\sqrt{1 - k^2}) - (3k^2 - 2) \dot{K}(\sqrt{1 - k^2}) + \sqrt{1 - k^2} K(\sqrt{1 - k^2}) \right) \] Remarquons maintenant qu'avec la notation \( k' = \sqrt{1 - k^2} \) donc \( k = \sqrt{1 - {k'}^2} \) , on a: \[ -k^2 \sqrt{1 - k^2} = ({k'}^2 - 1) k' = {k'}^3 - k' \] \[ 3k^2 - 2 = 3(1 - {k'}^2) - 2 = 3 - 3 {k'}^2 - 2 = 1 - 3 {k'}^2 \] ce qui nous permet d'écrire: \[ \begin{aligned} (k^3 - k) \ddot{K'}(k) & + (3k^2 - 1) \dot{K'}(k) + k K'(k) \\ & \qquad = \frac{\sqrt{1 - {k'}^2}}{k'} \left( ({k'}^3 - k') \ddot{K}(k') + (3{k'}^2 - 1) \dot{K}(k') + k' K(k') \right) \end{aligned} \] En vertu de l'équation différentielle vérifiée par \( K \) , le membre de droite de cette dernière égalité est nul. On constate alors que: \[ (k^3 - k) \ddot{K'}(k) + (3k^2 - 1) \dot{K'}(k) + k K'(k) = 0 \] et donc que \( K' \) vérifie cette même équation différentielle. Nous avons donc le résultat suivant:

C'est un résultat très intéressant à plus d'un titre. D'une part, on constate facilement que \( K \) et \( K' \) sont linéairement indépendantes, elles forment donc une base de l'espace vectoriel des solutions de \((11)\). D'autre part, le seul fait d'être la solution d'une équation différentielle permet d'obtenir des relations fonctionnelles. C'est précisément ce que nous allons faire dans ce qui suit.