Introduisons les notations suivantes, valables dans tout ce qui suivra: \[ I(a,b) = \int_0^{\pi/2} \frac{\mathrm{d}\theta}{\sqrt{a^2 \cos^2 \theta + b^2 \sin^2 \theta}} \] \[ J(a,b) = \int_0^{\pi/2} \sqrt{a^2 \cos^2 \theta + b^2 \sin^2 \theta} \; \mathrm{d}\theta \] \[ K(k) = \int_0^{\pi/2} \frac{\mathrm{d}\theta}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2 \theta}} \] \[ E(k) = \int_0^{\pi/2} \sqrt{1 - k^2 \sin^2 \theta} \; \mathrm{d}\theta \] pour \(a\) et \(b\) réels strictement positifs et \(k \in ]0;1[\). Dans la littérature, \( k \) est appelé module et on introduit souvent le module complémentaire \( k' = \sqrt{1 - k^2} \) ainsi que les fonctions \( K'(k) = K(k') = K(\sqrt{1 - k^2}) \) et \( E'(k) = E(k') = E(\sqrt{1 - k^2}) \). Il faudra bien faire attention à cette notation et ne pas les confondre avec les dérivées ! Personnellement, je ne compte plus les erreurs que j'ai pu commettre à cause de cette notation bizarre. Mais plutôt que de choisir une autre notation, je préfère garder celle choisie par nos pairs, aussi confuse semble-t-elle. Donc la dérivation sera notée: \( \dot{K} \) pour la dérivée première et \( \ddot{K} \) pour la dérivée seconde.

Pour \( a > b \) , les égalités suivantes sont immédiates : \[ I(a,b) = \frac{1}{a} K \left( \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} \right) \] \[ J(a,b) = a E \left( \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} \right) \]

Dans la suite nous supposerons que \( a > b \). Nous noterons aussi \( a_n \) et \( b_n \) les termes généraux des suites engendrées par la moyenne arithmético-géométrique pour lesquelles on pose \( a_0 = a \) et \( b_0 = b \) ainsi que: \[ a_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2} \] \[ b_{n+1} = \sqrt{a_n b_n} \] Nous noterons aussi \( c_n = a_n^2 - b_n^2 \) pour tout \( n \). Enfin, pour nous faciliter la vie et gagner en lisibilité, nous noterons: \[ \Psi (a,b,\phi) = \sqrt{a^2 \cos^2 \phi + b^2 \sin^2 \phi} \]

Dans un premier temps, nous allons montrer un théorème permettant de calculer \( I(a,b) \) et \( J(a,b) \) en fonction de la moyenne arithmético-géométrique. Bien que nous ayons déjà un moyen de le faire pour \( I(a,b) \), nous utiliserons, ici, une autre voie pour obtenir les deux intégrales. Il n'est jamais inutile de démontrer un résultat connu par une nouvelle méthode ! Ensuite, nous développerons les fonctions \( K(k) \) et \( E(k) \) puis nous établirons différentes identités faisant intervenir leurs dérivées. Enfin, nous trouverons une équation différentielle vérifiée par \( K \) et par \( K' \) qui nous permettra de montrer la formule de Legendre. Cette formule, associée aux fonctions \( I(a,b) \) et \( J(a,b) \) et à leurs expressions liées à la moyenne arithmético-géométrique, nous fournira un premier algorithme quadratique pour calculer \( \pi \): l'algorithme de Brent-Salamin.

La transformation de Landen

Pour \( \phi \in [0;\pi/2] \) et \( a \geq b > 0 \) , posons: \[ \theta = \phi + \arctan \left( \frac{b}{a} \tan \phi \right) \] cette notation reste cohérente pour \( \phi = \pi/2 \) si l'on fait alors \( \theta = \pi \) car la tangente tend vers l'infini, \( \frac{b}{a} > 0 \) et l'arctangente tend vers \( \pi/2 \). Nous allons établir quelques propriétés de cette transformation. Pour commencer, remarquons que: \[ a \cos \phi + i b \sin \phi = \Psi (a , b , \phi) e^{i(\theta - \phi)} \tag{1} \] En effet, un calcul immédiat de l'argument et du module de \( a \cos \phi + i b \sin \phi \) donne: \[ \arg ( a \cos \phi + i b \sin \phi ) = \arctan \left( \frac{b \sin \phi}{a \cos \phi} \right) = \arctan \left( \frac{b}{a} \tan \phi \right) = \theta - \phi \] \[ | a \cos \phi + i b \sin \phi | = \sqrt{a^2 \cos^2 \phi + b^2 \sin^2 \phi} = \Psi (a , b , \phi) \] en vérifiant que pour \( \phi = \pi/2 \) , l'abus de notation cité plus haut reste valide.

Soit \( z \) le nombre complexe tel que: \[ z = \frac{a+b}{2} e^{i(2 \phi - \theta)} + \frac{a-b}{2} e^{-i \theta} \] alors: \[ z = e^{i(\phi - \theta)} \left( \frac{a+b}{2} e^{i \phi} + \frac{a-b}{2} e^{-i \phi} \right) \] que l'on écrit: \[ z = e^{i(\phi - \theta)} \left( a \frac{e^{i \phi} + e^{-i \phi}}{2} + b \frac{e^{i \phi} - e^{-i \phi}}{2} \right) \] pour reconnaître: \[ z = e^{i(\phi - \theta)} ( a \cos \phi + i b \sin \phi ) \] ce qui, en tenant compte de \( (1) \), donne: \[ z = e^{i(\phi - \theta)} \Psi (a , b , \phi) e^{i(\theta - \phi)} = \Psi (a , b , \phi) \] En prenant respectivement les parties réelle et imaginaire de \( z \) , on a donc établit que:

Maintenant, calculons \( \frac{a+b}{2} \cos ( 2 \phi - \theta ) \) d'une autre manière: \[ {\left( \frac{a+b}{2} \right)}^2 \cos^2 ( 2 \phi - \theta ) = {\left( \frac{a+b}{2} \right)}^2 - {\left( \frac{a+b}{2} \right)}^2 \sin^2 ( 2 \phi - \theta ) \] de \( (3) \) , il vient: \[ {\left( \frac{a+b}{2} \right)}^2 \cos^2 ( 2 \phi - \theta ) = {\left( \frac{a+b}{2} \right)}^2 - {\left( \frac{a-b}{2} \right)}^2 \sin^2 \theta \] et, comme \( {\left( \frac{a-b}{2} \right)}^2 = {\left( \frac{a+b}{2} \right)}^2 - a b \) , on a alors: \[ {\left( \frac{a+b}{2} \right)}^2 \cos^2 ( 2 \phi - \theta ) = {\left( \frac{a+b}{2} \right)}^2 - {\left( \frac{a+b}{2} \right)}^2 \sin^2 \theta + a b \sin^2 \theta \] d'où: \[ {\left( \frac{a+b}{2} \right)}^2 \cos^2 ( 2 \phi - \theta ) = {\left( \frac{a+b}{2} \right)}^2 \cos^2 \theta + a b \sin^2 \theta = \Psi^2 \left( \frac{a+b}{2} , \sqrt{a b} , \theta \right) \tag{4} \] Notons que \( \phi \in [0; \pi/2] \) , donc \( \tan \phi \geq 0 \) , et comme \( a \geq b > 0 \) alors \( 0 \leq \frac{b}{a} \tan \phi \leq \tan \phi \). Donc, comme la fonction arctangente est strictement croissante et nulle en zéro, on a \( 0 \leq \arctan ( \frac{b}{a} \tan \phi ) \leq \phi \) . Ainsi, on voit que \( (2 \phi - \theta ) = \phi - \arctan ( \frac{b}{a} \tan \phi ) \) est dans \( [0; \pi/2] \) . Donc \( \cos (2 \phi - \theta ) \geq 0 \) , on peut donc, en faisant la racine carrée de \( (4) \), écrire:

Pour ne pas surcharger les calculs, notons: \[ P = \left( \frac{a+b}{2} \cos ( 2 \phi - \theta ) + \frac{a-b}{2} \cos \theta \right) \left( \frac{a+b}{2} \cos ( 2 \phi - \theta ) - \frac{a-b}{2} \cos \theta \right) \] On a alors immédiatement: \[ P = {\left( \frac{a+b}{2} \right)}^2 \cos^2 ( 2 \phi - \theta ) - {\left( \frac{a-b}{2} \right)}^2 \cos^2 \theta \] que l'on peut écrire, en tenant compte de \( (4) \) et du fait que \( {\left( \frac{a-b}{2} \right)}^2 = {\left( \frac{a+b}{2} \right)}^2 - a b \) : \[ P = {\left( \frac{a+b}{2} \right)}^2 \cos^2 \theta + a b \sin^2 \theta - {\left( \frac{a+b}{2} \right)}^2 \cos \theta + a b \cos^2 \theta = a b \sin^2 \theta + a b \cos^2 \theta = a b \] Mais on peut aussi écrire \( P \) en tenant compte de \( (2) \) , ce qui donne: \[ P = \Psi (a , b , \phi) \left( \frac{a+b}{2} \cos ( 2 \phi - \theta ) - \frac{a-b}{2} \cos \theta \right) \] d'où:

Il nous reste une dernière relation à écrire. Pour cela, différentions l'équation \( (3) \) . Si l'on note: \[ f ( \phi , \theta ) = \frac{a+b}{2} \sin ( 2 \phi - \theta ) - \frac{a-b}{2} \sin \theta \] Il vient d'après \( (3) \): \[ \frac{\partial f}{\partial \phi} \mathrm{d} \phi + \frac{\partial f}{\partial \theta} \mathrm{d} \theta = 0 \] où les dérivées partielles sont (et en vertu des équations \( (5) \) et \( (2)\)): \[ \frac{\partial f}{\partial \phi} = (a+b) \cos ( 2 \phi - \theta ) = 2 \Psi \left( \frac{a+b}{2} , \sqrt{a b} , \theta \right) \] \[ \frac{\partial f}{\partial \theta} = - \frac{a+b}{2} \cos ( 2 \phi - \theta ) - \frac{a-b}{2} \cos \theta = - \Psi (a , b , \phi) \] ce qui donne: \[ 2 \Psi \left( \frac{a+b}{2} , \sqrt{a b} , \theta \right) \mathrm{d} \phi = \Psi (a , b , \phi) \mathrm{d} \theta \tag{7} \] qui peut s'écrire aussi: \[ \frac{\mathrm{d} \phi}{\Psi (a , b , \phi)} = \frac{1}{2} \frac{\mathrm{d} \theta}{\Psi \left( \frac{a+b}{2} , \sqrt{a b} , \theta \right)} \tag{8} \] En intégrant cette dernière équation \( (8) \) pour \( \phi \in [0;\pi/2] \) (et donc pour \( \theta \in [0;\pi]\)) et parce que \( \Psi (a , b , \theta) = \Psi (a , b , \pi - \theta) \) , on trouve: \[ \int_0^{\pi/2} \frac{\mathrm{d} \phi}{\Psi (a , b , \phi)} = \frac{1}{2} \int_0^{\pi} \frac{\mathrm{d} \theta}{\Psi \left( \frac{a+b}{2} , \sqrt{a b} , \theta \right)} = \int_0^{\pi/2} \frac{\mathrm{d} \theta}{\Psi \left( \frac{a+b}{2} , \sqrt{a b} , \theta \right)} \] soit: \[ I(a,b) = I \left( \frac{a+b}{2} , \sqrt{a b} \right) \tag{9} \] De plus, en tenant compte de \((2)\), \((5)\) et \((6)\), on peut écrire l'équation \((7)\) comme suit: \[ \left( \Psi (a , b , \phi) + \frac{a b}{\Psi (a , b , \phi)} \right) \mathrm{d} \phi = \left( \Psi \left( \frac{a+b}{2} , \sqrt{a b} , \theta \right) + \frac{a-b}{2} \cos \theta \right) \mathrm{d} \theta \] qui donne en intégrant pour \( \phi \in [0;\pi/2] \) (et parce que \( \int_0^{\pi} \cos \theta \mathrm{d} \theta = 0 \)): \[ J(a,b) + a b I(a,b) = 2 J \left( \frac{a+b}{2} , \sqrt{a b} \right) \tag{10} \] En itérant la relation \((9)\), on trouve: \[ I(a,b) = I(a_1 , b_1) = I(a_2 , b_2) = ... = I(a_n , b_n) \] et donc, par le même argument de continuité que dans la précédente démonstration, on a: \[ I(a,b) = \lim_{n \to + \infty} I(a_n,b_n) = I \left( M(a,b) , M(a,b) \right) = \frac{\pi}{2 M(a,b)} \tag{11} \] Pour \( J(a,b) \) cela sera un peu plus compliqué. En notant que \( a b = \frac{1}{2} ( a^2 - b^2 ) - a^2 + 2 {\left( \frac{a+b}{2} \right)}^2 \) , on écrit \((10)\) comme suit: \[ J(a,b) + \left( \frac{1}{2} ( a^2 - b^2 ) - a^2 + 2 {\left( \frac{a+b}{2} \right)}^2 \right) I(a,b) = 2 J \left( \frac{a+b}{2} , \sqrt{a b} \right) \] que l'on réarrange en: \[ J(a,b) - a^2 I(a,b) - 2 \left( J \left( \frac{a+b}{2} , \sqrt{a b} \right) - {\left( \frac{a+b}{2} \right)}^2 I(a,b) \right) = - \frac{1}{2} ( a^2 - b^2 ) I(a,b) \] Cette dernière égalité valant si l'on substitue respectivement \(a_n\) et \(b_n\) à \(a\) et \(b\) ainsi que respectivement \(a_{n+1}\) et \(b_{n+1}\) à \(\frac{a+b}{2}\) et \(\sqrt{a b}\) , on a alors (sachant que \( I(a_n,b_n) = I(a,b) \) pour tout \(n\)): \[ J(a_n,b_n) - a_n^2 I(a,b) - 2 \left( J (a_{n+1},b_{n+1} ) - a_{n+1}^2 I(a,b) \right) = - \frac{1}{2} ( a_n^2 - b_n^2 ) I(a,b) \] Donc, si pour tout \(n\) , on note \( D_n = J(a_n,b_n) - a_n^2 I(a,b) \) , on obtient: \[ D_n - 2 D_{n+1} = - \frac{1}{2} ( a_n^2 - b_n^2 ) I(a,b) \] En multipliant par \(2^n\) , ça donne: \[ 2^n D_n - 2^{n+1} D_{n+1} = - \frac{1}{2} 2^n ( a_n^2 - b_n^2 ) I(a,b) \] puis en sommant pour \(n=0\) à \(n=N-1\) , on obtient: \[ D_0 - 2^N D_N = - \frac{1}{2} \left( \sum_{n = 0}^{N-1} 2^n ( a_n^2 - b_n^2 ) \right) I(a,b) \tag{12} \] Au sujet de \( 2^n ( a_n^2 - b_n^2 ) \) , rappelons que, pour tout \(n\) (et parce que la suite \( (b_n) \) est croissante): \[ a_{n+1} - b_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2} - b_{n+1} \leq \frac{a_n + b_n}{2} - b_n = \frac{a_n - b_n}{2} \] et \[ a_{n+1}^2 - b_{n+1}^2 = {\left( \frac{a_n + b_n}{2} \right)}^2 - a_n b_n = {\left( \frac{a_n - b_n}{2} \right)}^2 \] donc, si on pose : \( d_n = 2^n ( a_n^2 - b_n^2 ) \) , on a alors: \[ d_{n+2} = 2^{n+2} ( a_{n+2}^2 - b_{n+2}^2 ) = 2^n ( a_{n+1} - b_{n+1} )^2 \leq 2^{n-2} ( a_n - b_n )^2 = 2^n ( a_{n+1}^2 - b_{n+1}^2 ) = \frac{1}{2} d_{n+1} \] La suite \( (d_n) \) tend donc vers \(0\) plus vite qu'une suite géométrique de raison \(1/2\) ce qui nous assure que la somme du membre de droite de l'équation \((12)\) est convergente lorsque \(N\) tend vers l'infini. Il nous reste à calculer \( \lim_{N \to + \infty} 2^N D_N \) . Pour cela, reprenons la définition de \( D_n \) et écrivons: \[ \begin{aligned} D_n \; & = J(a_n,b_n) - a_n^2 I(a_n,b_n) \\ & = \int_0^{\pi/2} \sqrt{a_n^2 \cos \phi + b_n^2 \sin^2 \phi} \; \mathrm{d} \phi - a_n^2 \int_0^{\pi/2} \frac{\mathrm{d} \phi}{\sqrt{a_n^2 \cos \phi + b_n^2 \sin^2 \phi}} \end{aligned} \] en mettant tout sous le signe intégrale et au même dénominateur, ça donne: \[ D_n = \int_0^{\pi/2} \frac{a_n^2 \cos \phi + b_n^2 \sin^2 \phi - a_n^2}{\sqrt{a_n^2 \cos \phi + b_n^2 \sin^2 \phi}} \mathrm{d} \phi \] donc: \[ D_n = \int_0^{\pi/2} \frac{(b_n^2 - a_n^2) \sin^2 \phi}{\sqrt{a_n^2 \cos \phi + b_n^2 \sin^2 \phi}} \mathrm{d} \phi \] or, comme \( 0 \leq \sin^2 \phi \leq 1 \) pour \( \phi \in [0;\pi/2] \) et parce que \( a_n > b_n \) pour tout \(n\) , on a donc: \[ 0 \leq - D_n \leq (a_n^2 - b_n^2) I(a,b) \] et comme nous venons de voir que \( 2^n ( a_n^2 - b_n^2 ) \) tend vers \(0\) lorsque \(n\) tend vers l'infini, on a donc: \[ \lim_{n \to + \infty} 2^n D_n = 0 \] Donc, finalement, en faisant tendre \(N\) vers l'infini dans \((12)\) et en explicitant \(D_0\) : \[ J(a,b) - a^2 I(a,b) = - \frac{1}{2} \left( \sum_{n = 0}^{+ \infty} 2^n ( a_n^2 - b_n^2 ) \right) I(a,b) \] soit enfin: \[ J(a,b) = \left( a^2 - \frac{1}{2} \sum_{n = 0}^{+ \infty} 2^n ( a_n^2 - b_n^2 ) \right) I(a,b) \]

Nous avons donc obtenu nos formules liant les intégrales elliptiques complètes à la moyenne arithmético-géométrique:

Ces formules produisent d'excellents algorithmes de calcul des intégrales \(I\) et \(J\) grace à la convergence quadratique de l'itération de la moyenne arithmético-géométrique. Néanmoins, elles ne permettent pas, en l'état, de calculer \(\pi\). Pour cela, il va nous falloir trouver une autre relation liant ces intégrales. Mais auparavant, nous allons étudier leurs petites soeurs: les intégrales \(K\) et \(E\) . Il sera en effet plus commode d'étudier ces dernières car elles ne dépendent que d'un seul paramètre. Ainsi, il sera bien plus facile d'obtenir leur développement de Taylor.